好久不见，今天我想和大家探讨一下关于“零点定理是什么”的话题。如果你对这个领域还不太熟悉，那么这篇文章就是为你准备的，让我们一起来了解一下吧。

什么是零点定理？怎么证明？

对于一个函数 ，若存在实数 ，使 ,则称 为函数 的零点，又称为方程 的实根．如果函数 为闭区间上的连续函数，那么我们就可以利用连续函数的零点定理来判断函数是否存在零点，同时也可以利用微积分的知识来解决零点个数问题．

一、关于连续函数的零点的相关定理

定理1 （介值定理）设函数 在闭区间 上连续，且 ，若 为介于 、 之间的任何数（ 或 ），则在 内至少存在一点 ，使 ．

定理2 （零点定理）若函数 在闭区间 连续，且 ，则一定存在 使 ．

关于零点定理的证明，有很多种方法．本文在这里介绍3种方法．

证法一 （区间套原理）若 ，则称 为 的异号区间．

按假设 是 的异号区间，记 ．将 平分得 及 两个子区间，显然至少有一个是 的异号区间，任取其中一个异号区间，记作 ．同理，平分 可得一 的异号区间 ．如此下去可得一闭区间套

，

其中每个 为 的异号区间且 ．

根据区间套定理，存在唯一的点 属于一切 ．设 ，则 ， ．从 及 的连续性知：

．

由此可得 ，这表示 在 中至少有一个根 ．

证法二 （确界原理）不妨设 ， ．定义集合 如下：

．

显然，集合 有界、非空，所以必有上确界．令 ，现证明： 且 ．

由 的连续性及 知，存在 ，使得对任意的 ，有 ；再由 知，存在 ，使得对任意的 ，有 ．于是可知

，

即 ．

取 ， ， ，因 ，可以得到 ．

若 ，由 在点 的连续性，存在 ，使得对任意的 ，有 ，这就与 产生矛盾，于是必然有

证法三 （微积分证明）不失普遍性,设 ， ．令

，

则 在 上可导（在 处有右导数 ，在 处有左导数 ），且 ．由于 ，由极限性质知道，存在 满足，使得对任意的 ，有

，

即 ，从而 ．

这表明 不是连续函数 在 上的最大值．同理， 也不是最大值．故 在 上的最大值只能在 中的某一点 处取到．此时 也是极大值点．由 定理知 ，即 ．

零点定理的条件是什么？

零点定理的条件：f(a)<0，且E≠Φ，b为E的一个上界。

如果函数y=f(x)在区间［a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0。那么，函数y=f(x)在区间（a,b)内有零点，即至少存在一个c∈（a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

求解方法

求方程 f(x)=0 的实数根，就是确定函数 y=f(x) 的零点。一般的，对于不能用公式法求根的方程 f(x)=0 来说，我们可以将它与函数 y=f(x) 联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根。

函数 y=f(x) 有零点，即是 y=f(x) 与横轴有交点，方程 f(x)=0 有实数根，则 △≥0 ，可用来求系数，也可与导函数的表达式联立起来求解未知的系数。

什么是导数的零点定理？

导数的零点定理是导数的介值定理(也叫达布定理)的特例。

在高等数学里，我们学过闭区间上的连续函数的介值性，即任意两个函数值之间的数，都能被函数取到。

见连续函数的"零点定理"和"介值定理"。

在数学分析里，会讲到闭区间上的导函数也有这种介值性:，即任意两个导数值之间的数，都能被导数取到。并且导函数未必连续。

这就是导数的介值性。

<高等数学>的介值定理和零点定理具体内容是什么?

介值定理：又名中间值定理，是闭区间上连续函数的性质之一，闭区间连续函数的重要性质之一。在数学分析中，介值定理表明，如果定义域为[a，b]的连续函数f，也就是说，介值定理是在连续函数的一个区间内的函数值肯定介于最大值和最小值之间。

零点定理：如果函数y= f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0,那么，函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)= 0的根。

扩展资料

零点定理的证明：不妨设f(a)<0，f(b)>0.令E={x|f(x)<0，x∈[a，b]}

由f(a)<0知E≠Φ，且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，存在ξ=supE∈[a，b].

下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0，f(b)≠0，故此时必有ξ∈(a，b)）.

事实上，

(i)若f(ξ)<0，则ξ∈[a，b).由函数连续的局部保号性知存在δ>0，对x1∈(ξ，ξ+δ)：f(x)<0→存在x1∈E：x1>supE，这与supE为E的上界矛盾；

(ii)若f(ξ)>0，则ξ∈(a，b].仍由函数连续的局部保号性知存在δ>0，对x1∈(ξ-δ，ξ)：f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ这又与supE为E的最小上界矛盾.

综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0.

我们还可以利用闭区间套定理来证明零点定理。

百度百科-介值定理

百度百科-零点定理

今天关于“零点定理是什么”的讲解就到这里了。希望大家能够更深入地了解这个主题，并从我的回答中找到需要的信息。如果您有任何问题或需要进一步的信息，请随时告诉我。