tanx泰勒公式展开式(强悍的泰勒公式)

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tanx的麦克劳林展开式

tanx泰勒公式展开式

tanx的泰勒展开式的求法是：tanx=x+x^3/3+(2 x^5)/15+(17 x^7)/315+(62 x^9)/2835+O[x]^11(x泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式，如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

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tanx泰勒公式展开式(强悍的泰勒公式)

强悍的泰勒公式

“初次见你，我是那么讨厌你，后来的生活越来越离不开你，现在你是我心中的女皇。” ——献给美丽的泰勒公式

1. 初识泰勒公式

当我们开始上高数课或数分课大约二个月的时候，就会碰到这个令人生厌的泰勒公式，因为她太麻烦太复杂。一是她有那么多项，二是她要我们求那么多的各阶导数，三是带着一个不知道是几的中值余项，拜托，既然不知道中值是几，还弄出这个余项干么？哦，打住，别抱怨，你会慢慢爱上她的！！！

2.极限问题的核心

当 x>0 很小时，考虑 x、sin x 和 tan x 的差别有多大？回答这个问题首先要确定一个标准，就是他们之间是简单倍数关系？还是“数量级”的不同？对于初学者来说，可能还需要不少脑洞。但对于进阶者来说，马上就可以知道结果，因为当 x→0 时 sin x ～ tan x ～x，三者是等价的，不太确切地说是三者几乎相等(注意不是绝对相等)。哦，你觉得简单说明你已经差不多理解等价无穷小了。

那么进一步，把三者稍微运算一下，看看当 x>0 很小时，tan xㄧsin x 和 x^² 的差别有多大？稍有经验的同学懂得乘积情况下，因子可以用等价无穷小替换来求极限，故前者比后者小的多，因为 tan xㄧsin x=sin x (1ㄧcos x)/cos x～(x^³⁾/2，他比 x^² 小的多，完全不在一个“数量级”，这里所说的“数量级”其实就是 x 的次数，tan xㄧsin x 相当于 x ^3，他远远小于 x^² 。瞧，这就是阶的比较。

温馨提示：只要两个无穷小作商，极限为0，我们就说分子是比分母高阶的无穷小。

如果你足够细心，一定发现我们把 tan xㄧsin x 转化为 (x^³⁾/2 了。这是最普遍的最高效的比较阶的方法，因为幂函数最容易作阶的比较了，x^³ 就比 x^² 多一个 x，因此 tan xㄧsin x 是比 x^² 高阶的无穷小。

当 x→0 时，函数 f(x)～cx^^k，就说 f(x) 是 x 的 k 阶无穷小，其中 c 和 k 都为非0常数。称 cx^^k 是 f(x) 的主项。找到函数各因子的主项就找到了函数的极限。

温馨提示：为了简化无穷小阶的比较，我们通常把非幂函数转化为幂函数。极限的核心问题是无穷小阶的问题！

可以看出，函数 tan xㄧsin x 的主项是 (x^³⁾/2。但是找一个函数的主项不像这个例子一样简单，于是问题来了，如何找函数的主项呢？