微分方程通解的方法（微分方程的解如何求？）

下面将有我来为大家聊一聊如何解微分方程的问题，希望这个问题可以为您解答您的疑问，关于如何解微分方程的问题我们就开始来说说。

微分方程通解的方法

1、变量分离法：将微分方程中的变量分开，使得可以将方程两边分别积分，并得到通解。

2、齐次方程法：对于齐次线性微分方程，可以通过分离变量并进行变量代换，将方程转化为可直接积分的形式，从而得到通解。

3、常数变易法：对于某些特殊的微分方程，可以通解为特定形式，并将其代入方程，通过确定合适的常数值得到通解。

4、常系数线性齐次方程法：对于常系数线性齐次微分方程，可以通过代入指数函数形式的猜测解，并解特征方程得到通解。

5、变系数线性方程法：对于变系数线性微分方程，可以尝试使用特殊函数（常见的伯努利方程或一阶线性可降阶微分方程）的变换，将方程转化为可直接积分的形式，从而得到通解。微分方程，如果一个等式里既有函数又有函数的导数，那么这个等式就称为微分方程，微分方程中未知函数的导数的最高阶数，称为微分方程的阶，未知函数为一元函数的微分方程，称为常微分方程，未知函数为多元函数，从而出现多元函数的偏导数的方程，称为偏微分方程。

微分方程的解如何求？

微分方程的解通常是一个函数表达式y=f(x),（含一个或多个待定常数，由初始条件确定）。

例如：

其解为：

其中C是待定常数；

如果知道

则可推出C=1，而可知 y=-\cos x+1。

一阶线性常微分方程

对于一阶线性常微分方程，常用的方法是常数变易法：

对于方程：y'+p(x)y+q(x)=0，可知其通解：

然后将这个通解代回到原式中，即可求出C(x)的值。

二阶常系数齐次常微分方程

对于二阶常系数齐次常微分方程，常用方法是求出其特征方程的解

对于方程：

可知其通解：

其特征方程：

根据其特征方程，判断根的分布情况，然后得到方程的通解

一般的通解形式为：

若

则有

若

则有

在共轭复数根的情况下：

r=α±βi

扩展资料

一阶微分方程的普遍形式

一般形式：F（x,y,y'）=0

标准形式：y'=f(x,y)

主要的一阶微分方程的具体形式

约束条件

微分方程的约束条件是指其解需符合的条件，依常微分方程及偏微分方程的不同，有不同的约束条件。

常微分方程常见的约束条件是函数在特定点的值，若是高阶的微分方程，会加上其各阶导数的值，有这类约束条件的常微分方程称为初值问题。

若是二阶的常微分方程，也可能会指定函数在二个特定点的值，此时的问题即为边界值问题。若边界条件指定二点数值，称为狄利克雷边界条件（第一类边值条件），此外也有指定二个特定点上导数的边界条件，称为诺伊曼边界条件（第二类边值条件）等。

偏微分方程常见的问题以边界值问题为主，不过边界条件则是指定一特定超曲面的值或导数需符定特定条件。

唯一性

存在性是指给定一微分方程及约束条件，判断其解是否存在。唯一性是指在上述条件下，是否只存在一个解。

针对常微分方程的初值问题，皮亚诺存在性定理可判别解的存在性，柯西-利普希茨定理?[4]?则可以判别解的存在性及唯一性。

针对偏微分方程，柯西-克瓦列夫斯基定理可以判别解的存在性及唯一性。皮亚诺存在性定理可以判断常微分方程初值问题的解是否存在。

百度百科-常微分方程

百度百科-微分方程

微分方程怎么解？

∫xe^xdx

=∫xde^x

=x*e^x-∫e^xdx

=x*e^x-e^x+C

解题思路：

∫xe^xdx=∫xd(e^x)这是因为利用了微分公式：d(e^x)=e^xdx

然后∫xd(e^x)=xe^x-∫e^xdx

这是利用分部积分公式：

∫udv=uv-∫vdu

最后得到xe^x-∫e^xdx=xe^x-e^x+C

最后有个常数C是因为导函数相同，原函数可以相差任意常数C，因为常数部分的导数是0。

微积分（Calculus）是高等数学中研究函数的微分（Differentiation）、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科。内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。

参考资料：

百度百科-微积分

微分方程通解的方法（微分方程的解如何求？）